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\begin_layout Title
Analysis 1 Zusammenfassung
\end_layout
\begin_layout Part
Folgen und Reihen
\end_layout
\begin_layout Section
Formeln
\end_layout
\begin_layout Description
Arithmetisches
\begin_inset space ~
\end_inset
Bildungsgesetz
\begin_inset Formula $a_{n}=a_{1}+(n-1)*d$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Description
Summe
\begin_inset space ~
\end_inset
Arithmetischer
\begin_inset space ~
\end_inset
Folgen
\begin_inset Formula $S_{n}=n\cdot\frac{a_{1}+a_{n}}{2}$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Description
Geometrisches
\begin_inset space ~
\end_inset
Bildungsgesetz
\begin_inset Formula $a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Description
Summe
\begin_inset space ~
\end_inset
Geometrischer
\begin_inset space ~
\end_inset
Folgen
\begin_inset Formula $S_{n}=a_{1}\cdot\frac{q^{n}-1}{q-1}$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Description
Gauss
\begin_inset space ~
\end_inset
Formel
\begin_inset Formula $1+2+...+n=\frac{(n+1)\cdot n}{2}$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsection
Summen
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}i=\frac{1}{2}\cdot n\cdot(n+1)$
\end_inset
\begin_inset Newline newline
\end_inset
\begin_inset Formula $\text{\ensuremath{\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}i^{2}=\frac{1}{6}\cdot n\cdot(n+1)\cdot(2\cdot n+1)}}$
\end_inset
\begin_inset Newline newline
\end_inset
\begin_inset Formula $\overset{n}{\underset{n=1}{\sum}}i^{3}=\frac{1}{4}\cdot n^{2}\cdot(n+1)^{2}$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Section
Grenzwerte
\end_layout
\begin_layout Subsection
Grenzwertsatz
\end_layout
\begin_layout Standard
Es sei eine Folge
\begin_inset Formula $a_{n}$
\end_inset
mit Grenzwert
\begin_inset Formula $a$
\end_inset
und eine Folge
\begin_inset Formula $b_{n}$
\end_inset
mit Grenzwert
\begin_inset Formula $b$
\end_inset
.
Dann gilt:
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\lim_{n\to\infty}(a_{n}\pm b_{n})=a\pm b$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\lim_{n\to\infty}(a_{n}\cdot b_{n})=a\cdot b$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\lim_{n\to\infty}(\frac{a_{n}}{b_{n}})=\frac{a}{b}$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\lim_{n\to\infty}\frac{a}{n}=0$
\end_inset
für
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{R}$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1$
\end_inset
für
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{R^{+}}$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\lim_{n\to\infty}a^{n}=0$
\end_inset
für
\begin_inset Formula $|a|<1$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}=e$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\lim_{n\to\infty}(1-\frac{1}{n})^{n}=\frac{1}{e}$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\lim_{n\to\infty}(1+\frac{k}{n})^{n}=e^{k}$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Section
Induktion
\end_layout
\begin_layout Enumerate
Induktionsanfang: Zeigen, dass die Annahme für ein beliebiges n, zB.
\begin_inset Formula $n_{1}$
\end_inset
, wahr ist.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
Induktionsschritt: Man nimmt an, die Aussage sei für ein gewisses nicht
präzisiertes n∈N wahr und zeigt davon ausgehend die Aussage für n+ 1.
\end_layout
\begin_layout Section
Definitionen
\end_layout
\begin_layout Description
Konvergenz Wenn sich eine Folge einem Grenzwert annähert ist sie
\series bold
konvergent
\series default
, ansonsten ist sie
\series bold
divergent
\series default
.
\end_layout
\begin_layout Description
Monotonie Wenn der Funktionswert immer steigt, so heißt die Funktion
\series bold
streng monoton steigend
\series default
, steigt der Funktionswert immer
\series bold
oder bleibt er gleich
\series default
, heißt sie
\series bold
monoton steigend
\series default
.
Analog heißt eine Funktion
\series bold
streng monoton
\series default
fallend, wenn ihr Funktionswert
\series bold
immer fällt
\series default
und monoton fallend, wenn er immer fällt oder
\series bold
gleich bleibt.
\end_layout
\begin_layout Section
Definitionen
\end_layout
\begin_layout Description
Liniarfaktoren
\begin_inset space ~
\end_inset
von
\begin_inset space ~
\end_inset
Polynomen
\begin_inset space ~
\end_inset
(Produktedarstellung)
\begin_inset Formula $a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Part
Kurvendiskussion
\end_layout
\begin_layout Enumerate
Extremstellen:
\begin_inset Formula $f(x)'=0\wedge f(x)''\neq0$
\end_inset
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
Wenn
\begin_inset Formula $f(x)'=0\wedge f(x)''=0\Rightarrow$
\end_inset
Sattelpunkt
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Maximum & Minimum:
\begin_inset Formula $f(x)''<0\Rightarrow$
\end_inset
Min.
\begin_inset Formula $f(x)''>0\Rightarrow$
\end_inset
Max.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
Wendepunkte:
\begin_inset Formula $f(x)''=0\wedge f(x)'''\neq0$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Enumerate
Krümmung von Wendepunkten:
\begin_inset Formula $f(x)'''<0\Rightarrow$
\end_inset
Links-Rechts Krümmung,
\begin_inset Formula $f(x)'''>0\Rightarrow$
\end_inset
Rechts-Links Krümmung
\end_layout
\begin_layout Section
Tangenten und Normalen
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $m_{tangente}\cdot m_{normale}=-1$
\end_inset
\begin_inset Newline newline
\end_inset
Tangente für einen Punkt im einer Funktion bestimmen:
\end_layout
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
in Funktion einsetzen um
\begin_inset Formula $y$
\end_inset
zu berechnen.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
Steigung der Gesuchten Stelle
\begin_inset Formula $f(x)'=m_{t}$
\end_inset
berechnen.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
Werte
\begin_inset Formula $y$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
und
\begin_inset Formula $f(x)'$
\end_inset
in Funktion
\begin_inset Formula $y=m_{t}\cdot x+b$
\end_inset
einsetzen, um
\begin_inset Formula $b$
\end_inset
zu berechnen.
\end_layout
\begin_layout Standard
Normale bestimmen:
\end_layout
\begin_layout Enumerate
Steigung der Tangente
\begin_inset Formula $f(x)'=m_{t}$
\end_inset
in die Gleichung
\begin_inset Formula $m_{t}\cdot m_{n}=-1$
\end_inset
einsetzen und nach
\begin_inset Formula $m_{n}$
\end_inset
auflösen.
\end_layout
\begin_layout Enumerate
Gleichung
\begin_inset Formula $y=m_{n}\cdot x+b$
\end_inset
nach
\begin_inset Formula $b$
\end_inset
auflösen
\end_layout
\begin_layout Enumerate
Werte in
\begin_inset Formula $y=m_{n}\cdot x+b$
\end_inset
einsetzen
\end_layout
\begin_layout Section
Trigonometrie
\end_layout
\begin_layout Description
Trigonometrischer
\begin_inset space ~
\end_inset
Pythagoras
\begin_inset Formula $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Description
Weitere
\begin_inset space ~
\end_inset
Beziehungen
\begin_inset Formula $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{1}{\cot x}$
\end_inset
|
\begin_inset Formula $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{1}{\tan x}$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Graphics
filename Images/Trig_funct.png
lyxscale 50
scale 40
\end_inset
\begin_inset Newline newline
\end_inset
Weiteres: Papula S.
94 - 97
\end_layout
\begin_layout Part
ToAdd
\end_layout
\begin_layout Standard
Polstellen und Asymptoten
\end_layout
\begin_layout Part
Referenzen LAAAADEN!!!
\end_layout
\begin_layout Standard
TODO: Auf Papula 12 anpassen
\end_layout
\begin_layout Description
Grenzwerte 71
\end_layout
\begin_layout Description
Funtkionen Liniar: 75 Quadratisch: 77 Polynome: 78
\end_layout
\begin_layout Description
Hoerner-Schema 79
\end_layout
\begin_layout Description
Trigonometrische
\begin_inset space ~
\end_inset
Funktionen 91
\end_layout
\begin_layout Description
Umrechnungen
\begin_inset space ~
\end_inset
Sin
\begin_inset space ~
\end_inset
Cos
\begin_inset space ~
\end_inset
Tan
\end_layout
\end_body
\end_document
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