Integralberechnung über Rekursion

Berechne numerisch den Wert des bestimmten Integrals

\[I_n := \int_0^1 x^n e^x dx.\]

Die analytische Lösung kann mit Hilfe der partiellen Integration als Rekursionsformel hergeleitet werden. Es gilt

\[I_n = e - n\,I_{n-1},\quad I_1 = 1.\]

In der python-Funktion frekursiv basiert die Berechnung des Integrals auf der rekursiv definierten Stammfunktion:

from math import exp

def frekursiv(n):
    if n>1:
        return exp(1)-n*frekursiv(n-1)
    else:
        return 1

Für \(n\ge 18\) ist das Resultat offensichtlich falsch. Das Integral kann unmöglich negativ werden:

for n in range(1,31):
    print('n='+str(n)+'\t I('+str(n)+')='+str(frekursiv(n)))

n=1      I(1)=1
n=2      I(2)=0.7182818284590451
n=3      I(3)=0.5634363430819098
n=4      I(4)=0.4645364561314058
n=5      I(5)=0.395599547802016
n=6      I(6)=0.34468454164694906
n=7      I(7)=0.30549003693040166
n=8      I(8)=0.27436153301583177
n=9      I(9)=0.24902803131655915
n=10     I(10)=0.22800151529345358
n=11     I(11)=0.21026516023105568
n=12     I(12)=0.19509990568637692
n=13     I(13)=0.18198305453614516
n=14     I(14)=0.17051906495301283
n=15     I(15)=0.1604958541638526
n=16     I(16)=0.15034816183740363
n=17     I(17)=0.16236307722318344
n=18     I(18)=-0.2042535615582568
n=19     I(19)=6.599099498065924
n=20     I(20)=-129.26370813285942
n=21     I(21)=2717.256152618507
n=22     I(22)=-59776.91707577869
n=23     I(23)=1374871.8110247385
n=24     I(24)=-32996920.746311896
n=25     I(25)=824923021.3760792
n=26     I(26)=-21447998553.05978
n=27     I(27)=579095960935.3323
n=28     I(28)=-16214686906186.586
n=29     I(29)=470225920279413.7
n=30     I(30)=-1.4106777608382408e+16

Aufgabe: Berechne den absoluten Fehler!