(Diagonal-)implizite Runge-Kutta-Verfahren

Lernziele

  • Sie implementieren zwei implizite Runge-Kutta-Verfahren, unter Verwendung der Programmstruktur aus dem Praktikum 8.

  • Sie testen Ihre Programme an einfachen Modellproblemen und wenden sie schliesslich auf ein komplexeres Problem an, um die numerischen Lösungen zu vergleichen.

Theorie

In diesem Praktikum betrachten wir diagonal-implizite \(s\)-stufige Runge-Kutta-Verfahren mit einem Butcher-Tableau der Form

(1)\[\begin{split} \begin{array}{c|cccc} c_1 & a_{11}\\ c_2 & a_{21} & a_{22}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots\\ c_s & a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{ss}\\ \hline & b_1 & b_2 & \cdots & b_s \end{array}\end{split}\]

In einem solchen DIRK-Verfahren können die Stufengleichungen nacheinander gelöst werden, weil in der \(j\)-ten Stufe die Steigungen \(r_1, r_2, \dots, r_{j-1}\) bereits bekannt sind (vgl. Übungsblatt 9, Aufgabe 2).

Aufträge

  1. (\(s=1\)) Schreiben Sie ein Programm zur Lösung eines AWPs mit der impliziten Mittelpunktsregel:

    \[\begin{split}\begin{array}{c|c} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ \hline & 1 \end{array}\end{split}\]

    Verwenden Sie dafür dieselbe Programmstruktur wie für das implizite Euler-Verfahren im Praktikum 8.

  2. Testen Sie Ihr Programm aus 1. anhand des Modellproblems \(y' = -4y,\ y(0) = 1\), mit Endstelle \(x_n = 1\) und \(n = 10\) Schritten. Vergleichen Sie die Werte \(y_k\) der numerischen Lösung mit den Werten der exakten Lösung, \(y(x_k),\ k \in \{1,2,\dots,10\}\).

  3. (\(s=2\)) Schreiben Sie ein Programm zur Lösung eines AWPs mit der impliziten Trapezregel:

    \[\begin{split}\begin{array}{c|cc} 0 & 0\\ 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ \hline & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\end{split}\]

  4. Testen Sie Ihr Programm wie in 2.

  5. Lösen Sie mit Ihren Programmen aus 1. und 3. das Anfangswertproblem

    \[y' + \frac{x^2}{y} = 0, \quad y(0) = -4.\]

    Berechnen Sie für \(x_n=2\) und \(n=3^j\), \(j \in \{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), jeweils die absoluten Fehler an der Endstelle. Bestimmen Sie grafisch die Konvergenzordnung der beiden Verfahren.

Abgabe

Bitte geben Sie Ihre Lösungen bis spätestens vor dem nächsten Praktikum ab.