Lineare Ausgleichsrechnung mit Hilfe der QR-Zerlegung¶

Lernziele¶

Sie lernen die Matrix-Faktorisierung mit Hilfe der QR-Zerlegung.
Sie verstehen die Anwendung der QR-Zerlegung zur Lösung eines linearen Ausgleichsproblems
Sie verstehen die Berechnung der QR-Zerlegung mit Hilfe der Householder-Transformation
Sie können die QR-Zerlegung anwenden.

Theorie¶

In einem ersten Schritt betrachten wir die Berechnung der QR-Zerlegung mit Hilfe der Householder-Transformation. Die Theorie ist im Skript Kapitel 2.2.3 zu finden und wurde in der Vorlesung präsentiert.

Auftrag 1¶

Erarbeiten Sie die Matrix-Faktorisierung Schritt für Schritt. Sie können sich dazu am Jupyter-Notebook (Link unten) orientieren. Beantworten Sie folgende Fragen:
1. Wie lautet \(Q, R\) so, dass \(A = Q\cdot R\) gilt?
2. Welche Dimension hat \(Q, R\)?
3. Welche Dimension hat das reduzierte Problem?
4. Warum reichen die reduzierten Matrizen \(Q, R\)?
Implementieren Sie abschliessend eine Methode, welche die QR-Zerlegung einer beliebigen Matrix \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}\) berechnet.

Kontrollieren Sie Ihr Resultat mit der QR-Zerlegung von numpy:
```
Q,R = np.linalg.qr(A)
```

Jupyter-Notebook:

Householder-Transformation schrittweise

Industrielle Anwendung aus der Gas Analytik¶

Lernziele¶

Sie können die QR-Zerlegung auf ein industrielles Beispiel anwenden.
Sie verstehen die Ursache der schlechten Konditionierung.
Sie kennen Methoden zur Verbesserung der Kondition.

Theorie und Auftrag 2¶

Abgabe¶

Bitte geben Sie Ihre Lösungen bis spätestens vor dem nächsten Praktikum 6 ab. Kurzer Bericht mit den Ergebnissen und python Code, Jupyter-Notebook.