Anwendung aus der Messtechnik: Baseline Fit

In spektrometrischen Anwendungen der Messtechnik hat man oft das Problem, dass die sogenannte Baseline (Untergrund) der Messung unbekannt ist. In der Darstellung unten sehen Sie eine typische Situation:

measurementdataWithoutNoise.png

Für die Interpretation des physikalischen Vorgangs ist man nur am Peak (grün) interessiert. Die Rohsignale entsprechen jedoch der blauen Kurve. Das Baselinesignal (orange) ist die Folge von Hintergrundprozessen oder Eigenschaften des Messgerätes und sollte diskriminiert werden. Die folgende Anleitung zeigt Ihnen, wie das mit Hilfe der Ausgleichsrechnung gelingt.

Beschreibung des Untergrundes (Baseline)

Wir gehen davon aus, dass sich der Untergrund durch ein unbekanntes Polynom 3. Grades beschreiben lässt, welches additiv zum eigentlichen Peak der Resonanz dazu kommt. Damit können wir die Messdaten durch eine lineare Kombination von Funktionsansätzen fitten.

Lorentz-Shape einer Resonaz

Die Systemreaktion wird mit Hilfe der Lorentz-Shape \(l(x^\prime)\) beschrieben:

\[l(x^\prime) = \frac{1}{1+(x^\prime)^2},\quad x^\prime = \frac{x-x_0}{s_0/2}.\]

wobei \(x_0\) die Resonanzfrequenz und \(s_0\) die Breite des Peaks bezeichnen. In vielen Anwendungen ist die Resonanzfreqeunz, also \(x_0\) zum vornherein bekannt, aber nicht der Wert von \(s_0\). Mit Hilfe der nichtlinearen Ausgleichsrechnung können wir nun sämtliche Parameter in den Datenfit miteinbeziehen.

Die Breite \(s_0\) und die Position \(x_0\) sei nun ebenfalls unbekannt.

Rauschenanteil

Im allgemeinen wird die Aufgabe erschwert durch Rauschen im Messsignal, d.h. realistische Daten sehen folgendermassen aus:

measurementdata.png

Sie finden diese Daten im Downloadbereich als „data.txt“. Eingelesen werden können diese Werte via:

import numpy as np
np.loadtxt('dataP7.txt')

Separation von Lorentz-Peak und Untergrund

  • Implementieren Sie das nichtlineare Modell.

  • Skalieren Sie die \(x\)-Achse.

  • Berechnen Sie die Jakobi-Matrix bezüglich den Modellparameter für das Gauss-Newton Verfahren.

  • Wenden Sie Ihre Gauss-Newton Methode zur Bestimmung der Modellparameter für die im Downloadbereich gegebenen Messdaten. Benutzen Sie geeignete Startparameter, welche Sie ggf. aus einem linearen Datenfit bestimmen.

  • Stellen Sie den Lorentz-Peak als Funktion mit der gefitteten Amplitude graphisch dar, zusammen mit den verrauschten Daten von welchen Sie den Untergrund abziehen.

  • Vergleichen Sie das Konvergenzverhalten zwischen dem ungedämpften und gedämpften Gauss-Newton Verfahren.