Beispiel zu den linearen Operatoren

Inhalt

import numpy as np

Betrachte die Abbildung \(A: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) gegeben durch eine zufällige Matrix \(\mathbb{R}^{m\times n}\):

n = 3
m = 5

A = np.random.randint(-9,9,size=(m,n))

array([[ 6,  1, -8],
       [-9, -8, -4],
       [-2,  5, -2],
       [-2,  7, -8],
       [-6,  0, -5]])

Für die Operatornorm, hier in dem Fall konkret, der Matrix-Norm erhalten wir:

# max-Norm
np.linalg.norm(A,np.inf)

np.float64(21.0)

Die Max-(Matrix-)Norm ist gegeben durch das Maximum der absoluten Zeilensummen:

np.sum(np.abs(A),axis=1)

array([15, 21,  9, 17, 11])

# max-Norm
np.linalg.norm(A,1)

np.float64(27.0)

Die 1-(Matrix-)Norm ist gegeben durch das Maximum der absoluten Spaltensummen:

np.sum(np.abs(A),axis=0)

array([25, 21, 27])

# max-Norm
np.linalg.norm(A,2)

np.float64(14.377534355587496)

Die 2-(Matrix-)Norm ist gegeben durch den grössen Eigenwert von \(A^T\cdot A\):

np.linalg.eigvals(A.T@A)**(1/2)

array([ 8.07426243+0.j, 14.37753436+0.j, 14.18071902+0.j])