Beispiel zu den linearen Operatoren

4.1.1. Beispiel zu den linearen Operatoren#

import numpy as np

Betrachte die Abbildung \(A: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) gegeben durch eine zufällige Matrix \(\mathbb{R}^{m\times n}\):

n = 3
m = 5

A = np.random.randint(-9,9,size=(m,n))

A

array([[-3, -7,  6],
       [-2, -4, -4],
       [ 1,  6, -5],
       [ 5,  1, -1],
       [ 1,  4,  2]])

Für die Operatornorm, hier in dem Fall konkret, der Matrix-Norm erhalten wir:

Maximum Norm#

# max-Norm
np.linalg.norm(A,np.inf)

np.float64(16.0)

Die Max-(Matrix-)Norm ist gegeben durch das Maximum der absoluten Zeilensummen:

np.sum(np.abs(A),axis=1)

array([16, 10, 12,  7,  7])

1-Norm#

# max-Norm
np.linalg.norm(A,1)

np.float64(22.0)

Die 1-(Matrix-)Norm ist gegeben durch das Maximum der absoluten Spaltensummen:

np.sum(np.abs(A),axis=0)

array([12, 22, 18])

2-Norm#

# max-Norm
np.linalg.norm(A,2)

np.float64(12.99984244966087)

Die 2-(Matrix-)Norm ist gegeben durch den grössen Eigenwert von \(A^T\cdot A\):

np.linalg.eigvals(A.T@A)**(1/2)

array([12.99984245,  4.45601429,  7.1517853 ])
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