4. Lineare Operatoren

Viele Aufgaben in der Mathematik und den Anwendungen führen auf Gleichungen der Form

\[T(x) = T x = y,\]

wobei \(T: V \to W\) eine „lineare Abbildung“, \(V, W\) normierte Räume sind und \(y\in W\) ein gegeben ist.

Definition 4.1 (lineare Abbildung)

Die Abbildung \(T\) des normierten Raumes \(V\) in den normierten Raum \(W\) heisst linear, wenn für alle \(x,y \in V\) und alle \(\alpha \in \mathbb{K}\)

\[T(x+y) = T x + T y\]

und

\[T(\alpha\, x) = \alpha\, T(x)\]

gilt.