5.1. Hilbertraum \(L_2(\Omega)\)

Da der Fokus in der Bearbeitung von partiellen Differentialgleichungen liegt, werden wir im Folgenden Funktionen auf beliebigen \(n\) dimensionalen Gebieten \(\Omega \subset \mathbb{R}^n\) und nicht nur zwingend auf Intervallen \([a,b] \subset \mathbb{R}\) betrachten.

Sei daher das Integrationsgebiet bzw. der Definitionsbereich der Funktion gegeben durch \(\Omega\) eine beliebige (nichtleere) offene Menge in \(\mathbb{R}^n\). Mit \(C(\Omega)\) bezeichnen wir die Menge aller stetigen Funktionen auf \(\Omega\).

Definition 5.1 (Support)

Für \(f\in C(\Omega)\) definieren wir den Träger oder Support von \(f\) durch

\[\mathop{Tr} f := \overline{\{x\in\mathbb{R}^n | f(x) \not=0 \}}.\]

wobei mit \(\overline{A}\) die Abschliessung einer Menge \(A \subset \mathbb{R}^n\) bezeichnet.

Mit \(C_0(\Omega)\) bezeichnen wir stetige Funktionen mit beschränktem Support in \(\Omega\). Das Integral für \(f\in C_0(\Omega)\) existiert: mit \(a>0\) hinreichend gross gilt

\[\int_\Omega f(x)dx = \int_{-a}^a \left(\ldots\int_{-a}^a f(x_1,\ldots, x_n) dx_1 \ldots \right) dx_n.\]

Abb. 5.1 Berechnung von \(\int_\Omega f(x) dx\) in \(\mathbb{R}^2\).

Definition 5.2 (\(C_0^\infty(\Omega)\) und \(L_2(\Omega)\))

Mit \(C_0^\infty(\Omega)\) bezeichnen wir die Menge aller Funktionen, welche in \(\Omega\) beliebig oft stetig differenzierbar sind und einen beschränkten in \(\Omega\) enthaltenen Support haben.

Mit der Quadratnorm

\[\|u\|_2 = \sqrt{\int_\Omega |u(x)|^2 dx}\]

definieren wir \(L_2(\Omega)\) als den zu \((C_0^\infty(\Omega),\|\cdot\|_2)\) konjugierten (dualen) Raum:

\[L_2(\Omega) := (C_0^\infty(\Omega), \|\cdot\|_2)^*.\]

Man kann zeigen, dass sich die klassischen Funktionen aus \(C_0^\infty(\Omega)\) in \(L_2(\Omega)\) wiederfinden. Mathematisch bedeutet das, dass \(C_0^\infty(\Omega)\) als Unterraum von \(L_2(\Omega)\) aufgefasst werden kann.

\[C_0^\infty(\Omega) \subset L_2(\Omega)\]

Man sagt in dem Fall, \(C_0^\infty(\Omega)\) ist in \(L_2(\Omega)\) eingebettet. Es gilt

Theorem 5.1

Es gilt:

• \(C_0^\infty(\Omega)\) liegt dicht in \(L_2(\Omega)\)

• \(\overline{C_0^\infty(\Omega)}\) ist vollständig.

• \(L_2(\Omega) = \overline{C_0^\infty(\Omega)}\)