4.1. Beschränkte lineare Operatoren#
Analog zum Stetigkeitsbegriff aus der Analysis definiert man die Stetigkeit und Beschränktheit bei linearen Operatoren wie folgt:
Definition 4.2 (stetig)
Sei
gilt. Man nennt
Definition 4.3 (beschränkt)
Es seien
gibt.
Die Menge aller linearen Abbildungen mit der sogenannten Operatornorm versehen, liefert uns wieder einen normierten Vektorraum. Die Operatornorm (vgl. Matrixnorm aus der Numerik oder linearen Algebra) ist gegeben durch
Definition 4.4 (Operatornorm)
Die kleinste Zahl
definiert.
Remark 4.1
Mit der Norm von
schreiben. Die Operatornorm lässt sich anstelle der Schreibweise (4.2) auch durch
schreiben.
Siehe auch
Zwischen stetigen und beschränkten Operatoren besteht der Zusammenhang
Theorem 4.1
Sei
Proof. a) Sei
Wähle
dh.
b) Sei nun
für alle
Remark 4.2
Bei linearen Operatoren sind Stetigkeit und Beschränktheit äquivalente Eigenschaften.
Example 4.1
Sei
mit
ist ein linearer Operator, der auf sich abbildet.Da
stetig auf ist, ist stetig auf und damit ist auch (vgl. Satz 7.17 in [BWHM17])stetig auf
.Da
stetig auf ist, existiertund somit
Damit ist
bezüglich der Maximumsnorm beschränkt. Es gilt
Theorem 4.2
Seien
wieder ein normierter Raum.
Ist