Beschränkte lineare Operatoren

4.1. Beschränkte lineare Operatoren#

Analog zum Stetigkeitsbegriff aus der Analysis definiert man die Stetigkeit und Beschränktheit bei linearen Operatoren wie folgt:

Definition 4.2 (stetig)

Sei T:VW ein linearer Operator und V,W normierte Räume. Der lineare Operator T heisst stetig in x0V, wenn es zu jedem ε>0 ein δ=δ(ε,x0)>0 gibt, so dass

TxTx0W<εfür alle xVmit xx0V<δ

gilt. Man nennt T stetig in V, wenn T in jedem Punkt von V stetig ist.

Definition 4.3 (beschränkt)

Es seien V,W normierte Räume. Der lineare Operator T:VW heisst beschränkt, wenn es eine Konstante C>0 mit

(4.1)#TxWCxVxV

gibt.

Die Menge aller linearen Abbildungen mit der sogenannten Operatornorm versehen, liefert uns wieder einen normierten Vektorraum. Die Operatornorm (vgl. Matrixnorm aus der Numerik oder linearen Algebra) ist gegeben durch

Definition 4.4 (Operatornorm)

Die kleinste Zahl C>0 für die (4.1) gilt, heisst Operatornorm von T und ist durch

(4.2)#TVW:=supxVx0TxWxV

definiert.

Remark 4.1

Mit der Norm von T lässt sich die Ungleichung (4.1) auch in der Form

(4.3)#TxWTVW xV

schreiben. Die Operatornorm lässt sich anstelle der Schreibweise (4.2) auch durch

TVW=supxVx0TxWxV=supxV=1TxW

schreiben.

Zwischen stetigen und beschränkten Operatoren besteht der Zusammenhang

Theorem 4.1

Sei T:VW ein linearer Operator und V,W normierte Räume. Dann gilt

T ist beschränktT ist stetig.

Proof. a) Sei T beschränkt durch C>0 und x0V beliebig. Wir zeigen nun, dass es zu jedem ε>0 ein δ=δ(x0) gibt, so dass

TxTx0W<εxx0V<δ.

Wähle δ=εC, dann folgt

TxTx0W=T(xx0)WCxx0V<δ<CεC=ε

dh. T ist in x0 stetig und da x0V beliebig ist, in ganz V.

b) Sei nun T auf V stetig. Wir zeigen im Widerspruch, dass T beschränkt ist. Daher nehmen wir an: T sei nicht beschränkt. Also gibt es eine Folge {xk}V mit xk0 und TxkWxkV>k für alle kN. Setze nun yk=xkkxkV, so folgt ykV und

(4.4)#TykW=T(xkkxkV)W=TxkWkxkV>1

für alle kN. Andererseits gilt: ykV=1k0 für k bzw. yk0. Aus der Stetigkeit von T in 0 folgt Tyk0 für k, was im Widerspruch zu (4.4) steht.

Remark 4.2

Bei linearen Operatoren sind Stetigkeit und Beschränktheit äquivalente Eigenschaften.

Example 4.1

Sei V=W=C[a,b], fC[a,b] und f=maxaxb|f(x)|. Betrachte den Integraloperator T mit

(Tf)(x):=abK(x,y)f(y)dy,x[a,b]

mit K:[a,b]×[a,b]R stetigem Kern.

  • T ist ein linearer Operator, der C[a,b] auf sich abbildet.

  • Da f stetig auf [a,b] ist, ist fK stetig auf [a,b]×[a,b] und damit ist auch (vgl. Satz 7.17 in [BWHM17])

    F(x):=abK(x,y)f(y)dy

    stetig auf [a,b].

  • Da K stetig auf [a,b]×[a,b] ist, existiert

    M=maxx,y[a,b]|K(x,y)|

    und somit

    Tf||=maxx[a,b]|(Tf)(x)|maxx[a,b]ab|K(x,y)||f(y)|dyMmaxx[a,b]|f(x)| ab1dy=M(ba)f.

    Damit ist T bezüglich der Maximumsnorm beschränkt. Es gilt

    T=supf=1TfM(ba).

Theorem 4.2

Seien V,W normierte Räume und mit L(V,W) die Menge aller beschränkten linearen Operatoren von V in W bezeichnet. Dann ist L(V,W) bezüglich der Operatornorm

T=supxVx0TxWxV

wieder ein normierter Raum.

Ist V ein normierter Raum und W ein Banachraum, dann ist L(V,W) ein Banachraum.