Illustration des Lebesgue Integrals

3.2.5. Illustration des Lebesgue Integrals#

Zur Illustration des Lebesgue Integral \(\int_I f(x) dx\) einer reellen Funktion \(f: D\subset\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) betrachten wir die Zerlegung des Urbildes

\[M = f(I) = \{f(x)\in\mathbb{R}\ |\ x\in I\}.\]

Sei die Zerlegung \(Z\) von \(M\) in disjunkte Mengen (Intervalle) \(M_k\) gegeben

\[M = \bigcup_k M_k.\]

Wir betrachten nun deren Urbilder

\[E_k = f^{-1}(M_k) = \{x\in D | f(x) \in M_k\}.\]

Nach Lebesgue gilt

\[\int_I f(x) dx = \sup_Z \sum_k c_k\,\mu(E_k).\]
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from LebesgueIntegrate import LebesgueIntegrate
from ipywidgets import interact, widgets

1. Beispiel: stetige Funktion#

\[f(x) = \frac{1}{2} \cos(4\pi x) e^{-x} + e^{-x}\]
def f(x):
    return 0.5*np.cos(4*np.pi*x)*np.exp(-x)+np.exp(-x)

Wir betrachten eine Zerlegung des Bildes \(f([0,2])\)

n=20
Lf = LebesgueIntegrate(f,0,2,n)

interact(lambda sel: Lf.myPlot(sel), sel=widgets.IntSlider(min=0, max=n-1, step=1, value=2));

2. Beispiel: Singuläre Funktion#

Das selbe für eine in Null singuläre Funktion, welche jedoch quadratisch integrierbar ist

\[f_2(x) = x^{-\alpha}\qquad\text{für}\ 0 < \alpha <\frac{1}{2}.\]

Es gilt

\[\int_0^1 |f_2(x)]^2 dx = \int_0^1 t^{-2\alpha} dx = \Big[\frac{1}{1-2\alpha} x^{1-2\alpha}\Big]_0^1 = \frac{1}{1-2\alpha}.\]
def f2(x, alpha=-0.1):
    return (x**alpha)**2

n=10
Lf2 = LebesgueIntegrate(f2,0,1,n,100000,fmax=4)

interact(lambda sel: Lf2.myPlot(sel), sel=widgets.IntSlider(min=0, max=n-1, step=1, value=2));

Für das Integral selber erhalten wir eine untere und obere Abschätzung

Lf2.integrate()

(np.float64(1.130466304663037), np.float64(1.430145301453006))

wobei \(\frac{1}{1-2\alpha}=\frac{5}{4}\) für \(\alpha = \frac{1}{10}\) gilt.

1/(1-2*0.1)

1.25

3. Beispiel: Singuläre Funktion#

Beispiel mit einer Singularität im Innern. Die Funktion ist Lebesgue integrierbar.

def f3(x):
    return 0.5*np.cos(4*np.pi*x)*np.exp(-x)+np.exp(-x)+0.1*((x-0.9)**2)**-0.2

Lf3 = LebesgueIntegrate(f3,0,2,12,m=20000,fmax=3)

interact(lambda sel: Lf3.myPlot(sel), sel=widgets.IntSlider(min=0, max=11, step=1, value=2));
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