Existenz und Konvergenz

Inhalt

10. Existenz und Konvergenz#

10.1. Existenz einer Lösung#

Betrachten wir die Konvergenz der Methode der finiten Elemente in abstrakter Form für elliptische Probleme. Dazu definieren wir eine wichtige Eigenschaft der Bilinearform

Definition 10.1 (koerziv oder elliptisch)

Sei $V$ ein Hilbertraum und $A$ eine stetige Bilinearform auf $V$. Dann heisst $A$ koerziv, falls

(10.1)#\[\exists C > 0: \quad |A(v,v)| \ge C \|v\|_V^2\quad \forall\ v\in V.\]

Der folgende Satz von Lax-Milgram liefert uns die Existenz von Lösungen für unsere schwache Gleichung (1.4). Der Satz von Lax-Milgram basiert auf dem Darstellungssatz von Riesz, welchen wir als Abschluss im Kapitel Abschnitt 4.2 angetroffen haben.

Theorem 10.1 (Satz von Lax-Milgram)

Sei $V$ ein Hilbertraum, $f: V\to \mathbb{K}$ eine stetige Linearform und $A: V\times V\to \mathbb{K}$ eine stetige Bilinearform. Zu dem sei $A$ auf einem Teilraum $V_0\subset V$ koerziv. Dann hat das Variationsproblem: gesucht $u\in V_g$ so, dass

(10.2)#\[A(u,v) = f(v)\quad \forall v\in V_0\]

und $V_g$ eine lineare Mannigfaltigkeit, gegeben durch

\[V_g = u_g + V_0 := \{u_g + v_0\,|\, v_0\in V_0\}\]

eine eindeutige Lösung.

Wir betrachten das etwas allgemeinere Problem als in der Gleichung (1.4) zugrunde liegende:

\[\begin{split}\begin{split} -\Delta u & = f(x)\quad\text{für}\ x\in \Omega\\ u(x) & = u_g(x)\quad\text{für}\ x\in \Gamma_D\\ \frac{\partial u}{\partial n}(x) & = g(x)\quad\text{für}\ x\in \Gamma_N.\end{split}\end{split}\]

Der Rand $\partial\Omega$ des Gebietes $\Omega$ ist gegeben durch $\partial\Omega = \Gamma_D \cup \Gamma_N$, wobei $\Gamma_D \not= \emptyset$. Wir lassen daher anstelle der homogenen Dirichlet Randwerte beliebige Dirichlet Randwerte auf einem nicht verschwindenden Teilrand $\Gamma_D$ zu. Am Dirichletrand fordert man die Randbedingung $u(x) = u_g(x)$ explizit, entsprechend erlaubt man nur Testfunktionen mit $v(x)=0$ auf $\Gamma_D$. Am Neumannrand wird die Randbedingung $\frac{\partial u}{\partial n}(x) = g(x)$ eingesetzt. Testen und partiell Integrieren liefert

(10.3)#\[\int_\Omega \nabla u\cdot\nabla v\, dx - \int_{\Gamma_D} \frac{\partial u}{\partial n} \underbrace{v}_{=0}\ ds - \int_{\Gamma_N} \underbrace{\frac{\partial u}{\partial n}}_{=g} v\ ds = \int_\Omega f(x) v(x) dx\]

Wir erhalten somit das schwache Problem: finde $u\in H^1(\Omega)$ mit $u(x) = u_g(x)$ für $x\in\partial\Gamma_D$ und

\[\int_\Omega \nabla u\cdot\nabla v\, dx = \int_\Omega f(x) v(x) dx + \int_{\Gamma_N} g(x) v(x)\ ds \quad \forall\ v\ \text{mit $v(x)=0$ auf $\Gamma_D$}.\]

Um den Satz von Lax-Milgram anwenden zu können, wählen wir

$V = H^1(\Omega)$ mit der Norm $\|v\|_V = \left(\|v\|_{L_2}^2 + \|\nabla v\|_{L_2}^2\right)^{1/2}$
$V_0 = \{v\in V\ |\ v=0\, \text{auf}\ \Gamma_D\}$
$V_g = \{v\in V\ |\ v=u_g\, \text{auf}\ \Gamma_D\}$

Für ein beliebiges $\tilde{u}_g\in V$ mit $\tilde{u}_g = u_g$ auf dem Rand $\Gamma_D$ ist $V_g = \tilde{u}_g + V_0$.
Linearform $b: V\to\mathbb{R}$ gegeben durch

\[b(v)= \int_\Omega f(x) v(x) dx + \int_{\Gamma_N} g(x) v(x) ds\]
Bilinearform $A: V\times V\to\mathbb{R}$ gegeben durch

\[A(u,v) = \int_\Omega \nabla u\cdot\nabla v\, dx.\]

Mit Hilfe des Satz von Riesz erhalten wir die Stetigkeit der Linearform. Es gilt

\[\begin{split}\begin{split}|b(v)| & = \left|(f,v)_{L_2(\Omega)} + (g,v)_{L_2(\Gamma_N)}\right|\\ & \le \|f\|_{L_2(\Omega)} \|v\|_{L_2(\Omega)} + \|g\|_{L_2(\Gamma_N)} \|v\|_{L_2(\Gamma_N)}\\ & \le \|f\|_{L_2(\Omega)} \|v\|_V + \|g\|_{L_2(\Gamma_N)} c_{tr} \|v\|_V\\ & = \left(\|f\|_{L_2(\Omega)} + \|g\|_{L_2(\Gamma_N)} c_{tr}\right)\, \|v\|_V. \end{split}\end{split}\]

In der Abschätzung haben wir die Cauchy-Schwarz Ungleichung in $L_2(\Omega)$ und die Trace Ungleichung

\[\|v\|_{L_2(\Gamma_N)} \le c_{tr} \|v\|_V\quad \forall\,v\in V\]

des Sobolev Raum $H^1$ angewandt. Die Stetigkeit der Bilinearform ist trivial es gilt

\[A(u,v) = \int_\Omega \nabla u\cdot \nabla v\, dx = (\nabla u, \nabla v)_{L_2} \le \|\nabla u\|_{L_2}\ \|\nabla v\|_{L_2} \le \|u\|_V\,\|v\|_V.\]

Um die Koerzivität zeigen zu können, benötigen wir die Friedrichsungleichung

\[\|v\|_{L_2(\Omega)} \le c_F \|\nabla v\|_{L_2(\Omega)}\quad \forall\,v\in V_0.\]

Hier kommt die Voraussetzung $\Gamma_D \not= \emptyset$ ins Spiel. Mit der Friedrichsungleichung gilt

\[\|v\|_V^2 = \|v\|_{L_2}^2 + \|\nabla v\|_{L_2}^2 \le (c_F^2+1) \|\nabla v\|_{L_2}^2 = (c_F+1) A(v,v)\quad \forall\, v\in V_0,\]

also folgt für die Konstante der koerziv Bedingung (10.1) $C=(c_F+1)^{-1}$. Damit haben wir alle Voraussetzungen des Satzes von Lax-Milgram erfüllt und es folgt eine eindeutige Lösung der Variationsformulierung der Poissongleichung (10.3) im Raum $H^1$.

10.2. Fehlerabschätzung#

Sei $V_h\subset V$ ein endlich-dimensionaler Teilraum gegeben zum Beispiel durch stückweise lineare stetige Funktionen. Wir setzen $V_{0,h} = V_0 \cap V_h$ und $V_{g,h} = V_g \cap V_h.$ Damit lautet das diskrete Problem: Gesucht ist $u_h\in V_{g,h}$ mit

\[A(u_h,v_h) = f(v_h)\quad \forall v_h\in V_{0,h}.\]

$V_h$ ist wieder ein Hilbertraum. Daher liefert der Satz von Lax-Milgram auch für das diskrerte Problem eine eindeutige Lösung. Da $V_{0,h} \subset V_0$, gilt das unendlich-dimensionale Problem auch für diskrete Testfunktionen. Wir haben daher

\[\begin{split}\begin{split} A(u,v_h) & = f(v_h)\quad \forall v_h\in V_{0,h}\\ A(u_h,v_h) & = f(v_h)\quad \forall v_h\in V_{0,h}.\end{split}\end{split}\]

und entsprechend

\[A(u-u_h, v_h) = 0\quad \forall v_h\in V_{0,h}.\]

Der Fehler $u-u_h$ ist daher $A(\cdot,\cdot)$-orthogonal zum diskreten Testraum $V_{0,h}$. Dies nennt man Gallerkin-Orthogonalität.

Mit Hilfe der Korezivität, Galerkin Orthogonalität und der Stetigkeit von $A$ folgt das Cea’s Lemma

Theorem 10.2 (Cea’s Lemma)

Sei $A$ stetig und koerziv. Dann gilt

\[\|u-u_h\|_V \le \frac{\mu_1}{\mu_2}\,\inf_{w_h\in V_{g,h}} \|u-w_h\|_V,\]

wobei die Konstanten $\mu_1$ aus der Koerzivitäts Bedingung, $\mu_2$ aus der Stetigkeit der Bilinearform $A$ ist und für die schwachen Lösungen des Variationsproblems (10.2) mit $u\in V_0$ sowie $u_h\in V_{0,h}$ gilt.

Damit haben wir die Konvergenzaussage, dass die FEM-Lösung bis auf den Faktor $\frac{\mu_1}{\mu_2}$ die best-mögliche Approximation zur exakten Lösung im diskreten Raum ist.

Weitere Abschätzungen erhalten wir aus der Polynom-Interpolation mit Hilfe des Interpolationsoperators $I_h: V \to V_h$

\[\inf_{w_h\in V_{g,h}} \|u-w_h\|_V \le \|u-I_hu\|_V\]

und der Interpolationsfehlerabschätzung in Sobolevräumen

\[\|u- I_h u\|_{H^1} \le c\,h\,\|u\|_{H^2}.\]