Lineare Funktionale

4.2. Lineare Funktionale#

Wir betrachten nun spezielle lineare Operatoren, welche in den zugrunde liegenden Zahlenkörper abbilden.

Definition 4.5 (lineares Funktional)

Sei $V$ ein normierter Raum. Dann nennt man den linearen Operator $F: V \to \mathbb{K}$ ($\mathbb{R}$ oder $\mathbb{C}$) lineares Funktional.

Wir werden den Begriff Linearform für lineare Funktionale und die Bilinearform im Folgenden häufig antreffen.

Definition 4.6 (Linearform, Bilinearform)

Linearform $f(\cdot)$ ist eine Abbildung

(4.5)#\[\begin{split}\begin{split} f: V & \to \mathbb{K}\\ v & \mapsto f(v)\quad \text{linear}\end{split}\end{split}\]
Bilinearform $A(\cdot, \cdot)$ ist eine Abbildung

(4.6)#\[\begin{split}\begin{split} A: V \times V & \to \mathbb{K}\\ (u,v) & \mapsto A(u,v)\quad \text{linear in $u$ und $v$.}\end{split}\end{split}\]

Remark 4.3

Die Linearform ist ein äquivalenter Begriff für ein lineares Funktional.
Der Stetigkeitsbegriff linearer Operatoren auf das lineare Funktional bzw. Linearform und auf die Bilinearform angewandt bedeutet:
- die Linearform $f$ heisst stetig, falls
  
  \[\exists\ C>0:\quad |f(v)| \le C\ \|v\|_V\quad \forall\ v\in V\]
- die Bilinearform $A(u,v)$ heisst stetig, falls
  
  \[\exists\ C>0:\quad |A(u,v)| \le C\ \|u\|_V\,\|v\|_V\quad \forall\ u,v\in V.\]

Normiert man $\mathbb{K}$ mit

\[\|\alpha\| := |\alpha|,\quad\alpha\in\mathbb{K}\]

so ist $\mathbb{K}$ ein Banachraum und damit die Menge aller beschränkten linearen Funktionale auf $V$ ein Banachraum. Dieser Raum ist insbesondere im Zusammenhang mit partiellen Differentialgleichungen sehr wichtig.

Definition 4.7 (Dualraum von $V$)

Der Banachraum $L(V,\mathbb{K})$ aller beschränkten linearen Funktionale auf $V$ heisst der zu $V$ konjugierte oder duale Raum und wird mit $V^*$ oder $V'$ bezeichnet. Die Elemente des Dual-Raumes bezeichnet man als Distributionen.

Beispiel: Sei $V$ ein Hilbertraum und $y_0$ ein beliebiges (festes) Element aus $V$. Für $x\in V$ wird durch

\[\begin{split}\begin{split} F : V & \to \mathbb{R}\\ x & \mapsto y = F x := (x,y_0)\end{split}\end{split}\]

ein lineares Funktional $F$ definiert. (Die Linearität folgt direkt aus den Eigenschaften des Skalarprodukts.) Mit Hilfe der Schwarzschen Ungleichung folgt

\[\|F x\| = |F x| = |(x,y_0)| \le \|x\|\,\|y_0\|\quad\forall\ x\in V.\]

Damit folgt

\[\frac{\|F x\|}{\|x\|} \le \|y_0\|\quad \forall x\in V,\ \text{mit}\,x\not= 0\]

sprich $F$ ist ein beschränktes lineares Funktional, $F\in V^*$ mit $\|F\| \le \|y_0\|$. Da für $x=y_0$

\[\|F y_0\| = |(y_0,y_0)| = \|y_0\|^2 = \|y_0\|\, \|y_0\|\]

gilt, folgt

\[\begin{split}\|F\| = \sup_{\substack{x\in V\\x\not= 0}} \frac{\|F x\|}{\|x\|} = \|y_0\|.\end{split}\]

Wir kommen nun zum Rieszschen Darstellungssatz: Beschränkte lineare Funktionale eines Hilbertraumes $V$ lassen sich besonders einfach darstellen. Die Darstellung aus obigem Beispiel erfasst alle beschränkten linearen Funktionale. Es gilt

Theorem 4.3 (Darstellungssatz von Riesz)

Sei $V$ ein Hilbertraum und $F\in V^*$ beliebig. Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes $y\in V$, so dass $F$ die Darstellung

\[F x = (x,y)\quad\forall x\in V\]

besitzt.

Remark 4.4

Dieser Satz ist das zentrale Ergebnis der Hilbertraum-Theorie. Neben seiner Bedeutung als Darstellungssatz kann er auch als Existenz- und Eindeutigkeitsprinzip aufgefasst werden. Diese Bedeutung des Rieszschen Satzes ist Grundlage für die moderne Theorie der elliptischen partiellen Differentialgleichungen (vgl. auch Abschnitt 10).