11. Lineare Gleichungslöser#
Die Diskretisierung von linearen partiellen Differentialgleichungen führt zu linearen Gleichungssystemen
Der Rechenaufwand beim numerischen Lösen von PDE’s steckt daher im
Assembling (Berechnen der Matrizen und Vektoren)
Lösen des linearen Gleichungssystems.
Im Fall, dass die Gleichung nichtlinear ist, muss z.B. durch anwenden des Newton-Gauss Verfahrens mehrfach ein lineares Gleichungssystem gelöst werden. Die Aufgabe bleibt daher auch in dem Fall die selbe.
Typische Eigenschaften der Gleichungssysteme sind
Sehr grosse Dimension \(N\). Tägliche Praxis für 3D Probleme ist ca. \(10^6\), bei Spezialanwendungen \(10^{9}-10^{12}\).
Die Matrix hat Bandstruktur. Direkte Gleichungslöser wie z.B. LR-Verfahren für tridiagonal Matrizen haben mit Verwendung der Bandstruktur einen Rechenaufwand von 1D \(O(N)\), 2D \(O(N^2)\) und in 3D \(O(N^{7/3})\).
Die Matrix ist oft symmetrisch und positiv definit, das ist bei vielen FEM Diskretisierungen von elliptischen, parabolischen und hyperbolischen PDE’s der Fall.